PERSAMAAN KUADRAT KUADRAT

 Bentuk umum persamaan kuadrat : y = ax2 + bx + c, grafiknya berbentuk parabola.

Titik potong atara parabola-parabola didalam sistem persamaan itu merupakan penyelesaiannya.

Metoda penyelesaiannya adalah metoda substitusi dan eliminasi.

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini :

04. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 – 2x – 3 dan y = x2 – 1

Jawab

y = y

x2 – 2x – 3 = x2 – 1

x2 – 2x – 3 – x2 + 1 = 0

–2x – 2 = 0

–2x = 2

x = –1

Untuk x = –1 maka y = (–1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 Jadi H = {(–1, 0}

05. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + x – 2 dan y = 2x2 – 3x + 1

Jawab

y = y

2x2 – 3x + 1 = x2 + x – 2

2x2 – 3x + 1 – x2 – x + 2 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

x1 = 1 dan x2 = 3

Untuk x1 = 1 maka y = (1)2 + (1) – 2 = 0

Untuk x2 = 3 maka y = (3)2 + (3) – 2 = 10

Jadi H = {(1, 0), (3, 10)}

Diketahui y = a1 x2 + b1 x + c1, dan y = a2 x2 + b2 x + c2 maka untuk a1 ≠ a2 terdapat tiga macam sifat-sifat penyelesaiannya. Ketiga macam penyelesaian ini diperoleh dari analisa diskriminan (D) hasil substitusi kedua persamaan kuadrat tersebut, yakni :

Jika D > 0 maka sistem persamaan mempunyai dua titik penyelesaian

Jika D = 0 maka sistem persamaan mempunyai dua titik penyelesaian

Jika D < 0 maka sistem persamaan mempunyai dua titik penyelesaian

Untuk a1 = a2 akan maka hasil substutusi akan berbentuk persamaan linier, sehingga didapat dua macam kemungkinan penyelesaiannya, yakni mempunyai satu titik penyelesaian atau tidak ada titik penyelesaian

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini :

06. Untuk a ≠ 1, maka tentukanlah nila a agar sistem persamaan y = x2 – x – 5 dan y = ax2 + 5x + 1 memiliki satu anggota penyelesaian

Jawab

y = y

x2 – x – 5 = ax2 + 5x + 1

x2 – x – 5 – ax2 – 5x – 1 = 0

x2 – ax2 – 6x – 6 = 0

(1 – a)x2 – 6x – 6 = 0

Syarat :

D = b2 – 4ac = 0

(–6)2 – 4(1 – a)(–6) = 0

36 + 24(1 – a) = 0

36 + 24 – 24a = 0

60 – 24a = 0

–24a = –60

a = 60/24

a = 5/2

CONTOH SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Daftar Pustaka

materimatematika.Blogmipa, Matematika.2018.2017 sistem persamaan kuadrat kuadrat.contoh soal dan pembahasan SPKK