komposisi fungsi dan invers fungsi

 kaila naura ayu bilqis

x ips 1

fungsi komposisi fungsi komposisimerupakan suatu penggabungan dari operasi pada dua jenis fungsi f (x) dan g (x) sampai bisa menghasilkan fungsi baru.

Operasi fungsi komposisi juga biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf atau simbol “o” yang dibaca sebagai komposisi atau bundaran

Fungsi baru yang dapat terbentuk dari f (x) dan juga g (x),yakni:

•(f o g)(x) = g dimasukkan ke f

•(g o f)(x) = f dimasukkan ke g

Dalam fugsi komposisi juga dikenal dengan istilah fungsi tungal. Apa itu fungsi tunggal?

Fungsi tunggal sendiri adalah fungsi yang bisa dilambangkan dengan penggunaan huruf “f o g” maupun juga bisa dibaca sebagai“fungsi f bundaran g”.

Fungsi “f o g” ini merupakan suatu fungsi g yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan f.

Sementara, untuk fungsi “g o f” dibaca sebagai fungsi g bundaran f. Sehingga, “g o f” merupakan suatu fungsi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g.

Untuk mempermudah pemahaman dari uraian di atas, simak ulasan selengkapnya mengenai fungsi komposisi di bawah ini.

fungsi komposisi

Seperti yang tela disebutkan di atas, fungsi komposisi merupakan suatu penggabungan dari suatu operasi dua jenis fungsi f(x) dan juga g(x) sehingga mampu menghasilkan suatu fungsi baru.

Adapun rumus untuk fungsi komposisi, yaitu:

rumus fungsi komposisi

Sperti yang terdapat pada uraian di atas, operasi untuk fungsi komposisi tersebut biasa dinotasikan dengan penggunakan huruf atau simbol “o”.

Di mana simbol tersebut bisa kita baca sebagai komposisi ataupun bundaran. Fungsi baru inilah yang bisa terbentuk dari f(x) dan g(x) yaitu:

1. (f o g)(x) yang berarti g dimasukkan ke f

2. (g o f)(x) yang berarti f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal merupakan suatu fungsi yang dapat dinotasikan dengan penggunakan huruf “f o g” atau dapat dibaca “f bundaran g”.

Lalu Fungsi (f o g) (x) = f (g (x)) → fungsi g (x) dikomposisikan sebagai fungsi f (x)

Sementara itu, “g o f” dibaca sebagai fungsi g bundaran f. Sehingga, “g o f” merupakan fungsi f yang diselesaikan terlebih dahulu dari fungsi g.

Agar dapat memahami fungsi ini, perhatikan gambar dibawah ini :

Dari skema rumus di atas, dapat kita ketahui bahwa:

Apabila f : A → B ditentukan dengan menggunakan rumus y = f(x)

Apabila g : B → C ditentukan dengan menggunakan rumus y = g(x)

Sehingga, akan kita peroleh hasil fungsi g dan f yaitu:

h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

Dari definisi di atas maka bisa kita simpulkan jika fungsi yang melibatkan fungsi f dan g bisa kita tulis seperti berikut :

•(g o f)(x) = g(f(x))

•(f o g)(x) = f(g(x))

sifat sifat fungsi komposisi

Berikut akan kami berikan beberapa sifat dari fungsi komposisi, diantaranya adalah sebagai berikut:

Apabila f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka akan berlaku beberapa sifat seperti:

(f o g)(x)≠(g o f)(x). Tidak berlaku sifat komutatif.

[f o (g o h)(x)] = [(f o g ) o h (x)]. Akan bersifat asosiatif.

 Apabila fungsi identitas I(x), maka akan berlaku (f o l)(x) = (l o f)(x) = f(x).

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Untuk memahami uraian di atas, berikut akan kami berikan contoh soal untuk fungsi komposisi yang sederhana, perhatikan baik-baik ya.

Soal 1.

Jika diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x berapa nilai dari (f o g) (2)?

Jawab:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9(2) + 4

= 22

fungsi invers

Fungsi invers terjadi sebab adanya sebuah fungsi yang dinotasikan dengan f (x) serta memiliki relasi pada setiap himpunan A ke setiap himpunan B.

Sehingga akan menjadi sebuah fungsi invers yang dinotasikan dengan f-1 (x) yang tak lain mempunyai relasi dari himpunan B ke setiap himpunan A.

Sehingga, fungsi invers diperoleah dari f : A → B yang berubah menjadi f-1 B → A sehingga daerah asal atau domain f (x), menjadi daerah kawan atau kodomain menjadi daerah hasil atau range f-1 (x) yakni himpunan A. Begitu pula sebaliknya terjadi pada himpunan B.

Sebuah fungsi f mempunyai fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Hubungan tersebut bisa dinyatakan seperti berikut:

(f-1)-1 = f

Simplenya, fungsi bijektif berlangsung pada saat jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain.

Tidak terdapat dua atau lebih domain berbeda dipetakan ke kodomain yang sama. Serta pada setiap kodomain mempunyai pasangan di domain. Perhatikan gambar yang ada di bawah ini:

Berdasarkan gambar dari pemetaan di atas, pemetaan pertama menunjukan fungsi bijektif.

Pemetaan kedua bukan merupakan fungsi bijektif sebab pemetaan tersebut hanya berlangsung fungsi pada.

Domain d dan e dipetakan ke anggota kodomain yang sama. Pemetaan ketiga bukan fungsi bijektif sebab pemetaan tersebut hanya berlangsung pada fungsi satu-satu. Kodomain 9 tidak mempunyai pasangan pada anggota domain.

Sebagai contoh, f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa kita tulisakan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Misalnya f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f merupakan fungsi yang mengawankan pada masing-masing elemen B dengan tepat satu elemen pada A

Invers fungsi f juga dinyatakan dengan f-1 seperti di bawah ini:

Terdapat 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, antara lain:

Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).

Ubahlah variabel y dengan x sehingga akan didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

Dalam fungsi invers ada rumus khusus seperti berikut ini:

fungsi dan komposisi

aljabar fungsi

1. Penjumlahan f dan g

(f + g) (x) = f(x) + g(x).

Contoh Soal:Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x).

Jawab:

(f + g)(x) = f(x) + gx)

(f + g)(x)= x + 2 + x2 – 4

(f + g)(x)= x2 + x – 2

2. Pengurangan f dan g

(f – g)(x) = f(x) – g(x).

Contoh soal

Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).

Jawab:

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f – g)(x)= x2 – 3x – (2x + 1)

(f – g)(x)= x2 – 3x – 2x – 1

(f – g)(x)= x2 – 5x – 1

3. Perkalian f dan g

(f . g)(x) = f(x) . g(x).

Contoh soal

Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x).

Jawab:

(f × g)(x) = f(x) . g(x)

(f × g)(x)= (x – 5)(x2 + x)

(f × g)(x)= x3 + x2 – 5x2 – 5x

(f × g)(x)= x3 – 4x2 – 5x

4. Pembagian f dan g

contoh soal

Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan

Jawab:

jawaban Pembagian f dan g

fungsi invers

1. f-1 (x) adalah invers dari fungsi f(x)

2. Menentukan fungsi invers : mengganti f (x)= y = …” menjadi “ f -1 (y)= x = …”

3. hubungan sifat fungsi invers dengan fungsi komposisi:

(f ◦ f-1)(x)= (f -1 ◦ f)(x)= l (x)

(f ◦ g)-1 (x)= (g-1 ◦ f-1)(x)

(f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g -1)(x)

Contoh Soal Fungsi Invers

Untuk memahami uraian di atas, berikut akan kami berikan contoh soal untuk fungsi komposisi yang sederhana, perhatikan baik-baik ya.

Soal 1.

Jika diketahui suatu fungsi f (x) = 5x +20, hitunglah fungsi invers f-1 (x)!

Jawab:

Jika fungsi f (x) dinyatakan dalam bentuk y sama dengan fungsi x → f (x) = y, maka:

f (x) = 5x + 20 → y = 5x + 20

Kemudian, merubah x menjadi f-1 (y), sehingga akan kita dapatkan:

y = 5x + 20

5x = y – 20

x = (y – 20)/5

x = y/5 – 4

f-1 (y) = y/5 – 4

f-1 (x) = x/5 – 4 → sehingga kita dapatkan fungsi invers dari f (x) = 5x + 20

Daftar Pustaka:

Judul Posting: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi

Penulis/sumber: yuksinau

Tahun Posting: April 2021