PERSAMAAN LINEAR 3 VARIABEL

 Persamaan Linear Tiga Variabel atau disingkat dengan SPLTV memiliki pengertian sebagai bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel yang dikenal dalam Matematika, dalam x, y, dan z memiliki bentuk umum sebagai berikut:

Keterangan:

a, e, I, a1, a2, a3 merupakan koefisien dari x,

b, f, j, b1, b2, b3 adalah koefisien dari y,

c, g, k, c1, c2, c3 ialah koefisien dari z,

d, h, i, d1, d2, d3 merupakan konstanta,

x, y, z = variabel atau peubah.

contoh : 

1

+

2

+

4

=

1

x

y

z

−1

+

4

+

12

=

0

x

y

z

2

+

8

+

4

=

−1

x

y

z

Lalu bagaimanakah cara menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan tersebut?

Persamaan pertama:

⇒ 1(1/x) + 2(1/y) + 4(1/z) = 1

⇒ p + 2q + 4r = 1

■ Persamaan kedua:

⇒ −1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0

⇒ −p + 4q + 12r = 0

■ Persamaan ketiga:

⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1

⇒ 2p + 8q + 4r = −1

Dengan demikian, kita telah memperoleh SPLTV bentuk baku dengan variabel p, q, dan r yaitu sebagai berikut.

p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)

−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2)

2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)

Langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian yang telah disebutkan di atas. Misalnya kita gunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah p sehingga kita akan mengeliminasi p dulu.

Untuk menghilangkan peubah p, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1

−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1

2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2

Agar ketiga koefisien q sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dan kedua dengan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

p + 2q + 4r

=

1

|× 2|

→

2p + 4q + 8r

=

2

−p + 4q + 12r

=

0

|× 2|

→

−2p + 8q + 24r

=

0

2p + 8q + 4r

=

−1

|× 1|

→

2p + 8q + 4r

=

−1

Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2p + 4q + 8r

=

2

−2p + 8q + 24r

=

0

+

12q + 32r

=

2

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

−2p + 8q + 24r

=

0

2p + 8q + 4r

=

−1

+

16q + 28r

=

−1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

12q + 32r = 2

16q + 28r = −1

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p sebagai berikut.

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q = 2 – 32r

Kemudian, agar persamaan q di atas dapat disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk seperti berkut.

⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]

Kemudian masukkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tersebut.

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1

⇒ 4/3(2 – 32r) + 28r = −1

⇒ 8/3 – 128r/3 + 28r = −1

Kalikan kedua ruas dengan angka 3

⇒ 8 − 128r + 84r = −3

⇒ −128r + 84r = −3 – 8

⇒ −44r = −11

⇒ r = −11/−44

⇒ r = 1/4

Kemudian untuk menentukan nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = 2 sehingga kita peroleh:

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2

⇒ 12q + 8 = 2

⇒ 12q = 2 – 8

⇒ 12q = –6

⇒ q = –6/12

⇒ q = –1/2

Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4 ke salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sehingga kita peroleh:

⇒ p + 2q + 4r = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p – 1 + 1 = 1

⇒ p + 0 = 1

⇒ p = 1

Sampai disini kita sudah berhasil mendapatkan nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan permisalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut.

1/x

=

p

1/y

=

q

1/z

=

r

1/x

=

1

1/y

=

–1/2

1/z

=

1/4

x

=

1

y

=

–2

z

=

4

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −2, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(1 , −2, 4)}.

daftar pustaka

 2017. 2020 "contoh soal + pembahasan SPLTV bentuk pecahan" "sistem persamaan linear tiga variabel dan bentuk umumnya". Jakarta : kumparan.com, blogmipa-matematika.blogspot.com