BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

A. Barisan Dan Deretan Aritmatika

barisan aritmatika adalah suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.

Deret aritmatika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmatika

Rumus Barisan Dan Deretan Aritmatika

~Rumus Barisan Aritmatika

Usai membahas pengertian singkat dari barisan dan deret aritmatika, pahami uraian tentang rumusnya berikut ini,

• Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

• Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmatika, yakni:

Ut = ½ (a + Un)

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = U1

Un-1 = suku sebelum suku ke-n

b = beda.

~Rumus Deretan Aritmatika

 berikut rumus deret aritmatika, yakni:

Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)

Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:

Un = Sn – Sn-1

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = U1

Un-1 = suku sebelum suku ke-n

b = beda

Contoh Soal Barisan Dan Deretan Aritmatika

~Soal Barisan Aritmatika

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah...

Diketahui:

Gaji pertama = a = Rp3.000.000,00 

Kenaikan gaji tiap tahun = b = Rp.500.000 

Gaji tahun kesepuluh = U10 

Jumlah gaji selama sepuluh tahun = S10

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b 

U10 = 3.000.000 + (10 - 1)500.000

= 3.000.000 + (9 × 500.000) 

= 3.000.000 + 4.500.000 

= 7.500.000

~Soal Deretan Aritmatika

Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:

• Beda deret aritmetika tersebut.

• Tuliskan deret aritmetika tersebut.

• Jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

Jawaban:

• Beda deret aritmatika tersebut:

  Un = a+(n-1)b

  U6= a+(6-1) b

  20= 10+(5)b

  b= 10/5 = 2

  Jadi, beda deret aritmatika tersebut adalah 2.

  • Deret aritmatikanya adalah:

  10+12+14+16+18+20+…+Un

  • Jumlah suku ke-enam, S6 adalah:

  Sn =n/2 (2a+(n-1) b)

  S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)

  =3(20+10)

  =90

  Jadi, jumlah Suku ke-enam deret tersebut adalah 90.

  B. Barisan Dan Deret Geometri

  Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.

  Deret geometri itu bentuk penjumlahan dari barisan geometri.

  
  

  Rumus Barisan Dan Deret Geometri

  Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

  

  Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

  Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

  

  dengan syarat r < 1

  atau

  

  dengan syarat r > 1

  
  

  Soal Barisan Dan Deretan Geometri

  Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah…

  Pembahasan:

  Diketahui: a = 3
  
  Ditanya: 

  Jawab:

  Sebelum kita mencari nilai dari  , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

  Ingat kembali bahwa  sehingga   dapat ditulis menjadi

  

  

  

  

  

  

  Sehingga,

  

  

  

  Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

  C. Bunga ,Penyusutan,Pertumbuhan,Peluruhan,Bunga,Dan Anuitas

  Pengertian Bunga

  Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.

  Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh: besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga /  proporsi . Bunga dibedakan menjadi 2 jenis, yakni bunga Tunggal dan bunga Majemuk. berikut uraiannya..

  Jenis-jenis Bunga

  Berikut ini merupakan jenis-jenis bunga menurut besarnya bunga yang menampung untuk setiap periode:

  Bunga Tunggal

  Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal dihitung menurut modal awal.

  Rumus bunga tunggal pada akhir zaman;

  

  
  

  
  

  Rumus besarnya modal pada akhir;

  

  
  
  

  Keterangan:

  B = bunga

  M ₀ = modal awal

  M _t = modal pada akhir periode – t

  t = periode

  r = tingkat suku bunga (persentase)

  
  

  Contoh soal

  Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan pinjaman bunga kepada anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukan besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!

  Jawab:

  M ₀ = Rp. 800.000

  r = 2%

  t = 4 bulan

  Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:

  

  
  
  

  

  

  
  

  

  

  

  dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  
  

  lanjut ke…

  Bunga majemuk

  Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.

  Misalkan, Modal Bilangan M ₀ , akan dikenakan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam proporsi) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (M t ) bisa dihitung dengan cara: 

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  Sehingga, rumus untuk modal besar pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;
  

  

  
  
  

  

  keterangan;

  M _t = modal pada akhir periode – t

  M ₀ = modal awal

  i = tingkat suku bunga

  t = periode

  Contoh soal

  Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapa modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?

  Jawab:

  M ₀ = Rp. 6.000.000

  i = 3% = 0,03

  t = 12 bulan

  Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  
  

  Anuitas

  Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila suatu pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

  1. Besarnya pinjaman,

  2. Besarnya bunga, dan 

  3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

  Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas Hutang, dan mengangsur Hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

  Anuitas = Bunga atas Hutang + Angsuran Hutang

  Tumbuh

  pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang pada umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

  Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

  Rumus pertumbuhan linier;

  

  

  Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;

  

  

  Keterangan;

  P _n = nilai besaran setelah n periode

  P ₀  = nilai besaran pada awal periode

  b = tingkat pertumbuhan

  n = banyaknya periode pertumbuhan

  Contoh Soal

  Pada telapak tangan yang kotor bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

  Jawab;

  P ₀ = 200.000

  b = 4% = 0,04

  n = 2 jam

  Banyaknya bakteri setelah 2 jam;

  P _n = P 0 (1+b) n

  P2 ₌  200.000 (1 + 0,04) 2

  P2 ₌  200.000 ( 1.0816 )

  P2  =   _216.320 bakteri

  Peluruhan

  Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika(linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

  Rumus peluruhan linier;

  

  

  Rumus peluruhan eksponensial;

  

  

  Keterangan;

  P _n = nilai besaran setelah n periode

  P ₀ = nilai besaran pada awal periode

  b = tingkat peluruhan

  n = banyaknya periode pertumbuhan

  Contoh Soal

  Sebuah bahan radioaktif, awalnya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

  Jawab:

  P ₀ = 100 gram

  b = 3% = 0,03

  

  Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut;

  

  

  

  

  

  

  Daftar pustaka

  https://www.zenius.net/blog/contoh-soal-barisan-dan-deret-geometri

  https://m.kumparan.com/amp/kabar-harian/barisan-dan-deret-aritmatika-pengertian-rumus-dan-contoh-soal-1yVUPdUgVVs

  https://rumushitung.com/2021/04/16/bunga-pertumbuhan-peluruhan-pengertian-jenis-dan-rumusnya/amp/