INDUKSI MATEMATIKA
Apa sih itu induksi matematika?
induksi matematika merupakan salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus. Supaya kebayang, sebaiknya kita langsung ke contoh kasus deh. Kasus yang seperti apa sih yang bisa diselesaikan dengan rumus induksi matematika? Kita masuk ke contoh yang sederhana aja deh ya. Misalkan saya punya deret bilangan seperti di bawah ini.
Langkah awal pembuktian untuk setiap n bilangan asli adalah nilai n tertentu, kita bisa mencari jumlah dari deret bilangan di atas. Sebagai contoh, untuk n=2, kita mendapatkan hasil demikian:
Ternyata untuk n=2, kita mendapatkan bahwa jumlah deretnya adalah 3.
Bagaimana dengan n=5? Gampang, tinggal kita hitung aja lagi begini:
Jumlahnya adalah 15. Kalau untuk n=8 gimana? Sama aja caranya:
Kita dapatkan bahwa untuk n=8, jumlah deret tersebut adalah 40.
Kemudian sudah mendapatkan informasi bahwa ternyata untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun, SUDAH ADA RUMUSNYA.
Gimana Buktiinnya?
Yup. Gimana buktiinnya kalo rumus Sn di atas udah bener?
Nah, sebelum masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, coba deh kita tes dulu apakah nilai Sn itu benar untuk nilai-nilai n yang sebelumnya udah kita hitung. Kita mulai dari n=2.

Wah, ternyata benar nih. Hasilnya sama untuk n=2. Sekarang coba kita tes untuk n=5.

Hasilnya sama lagi nih. Untuk n=8 gimana?

Bener lagi! Okay, kalau gitu, bisa kita simpulkan bahwa rumus Sn ini benar lah ya? Eit, tunggu dulu. Kita baru menguji untuk tiga nilai n. Dalam matematika, kita tidak bisa melakukan generalisasi seperti itu. Untuk bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk semua kasus, kita harus benar-benar bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli.
Wah, kalau mau membuktikan untuk semua nilai n, kapan selesainya? Kan ada banyak banget yang harus dicoba. Nilai n=9, nilai n=10, nilai n=100, nilai n=84349384, dan seterusnya. Ada tak hingga nilai n yang harus kita coba. Nggak mungkin bisa kita cobain semuanya.
Nah, itulah sebabnya kita perlu membuktikannya dengan menggunakan Induksi Matematika.
Setelah elo baca penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan sebuah rumus, yaitu:
- Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
- Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
- Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 ke dalam pernyataan P(k).
Sebelum lanjut, pastiin dulu elo udah punya aplikasi Zenius ya, biar bisa dapetin akses ke ribuan video pembelajaran dan latihan soal. Kalo belum install, langsung aja download dengan klik gambar di bawah ini!
Konsep Dasar Induksi Matematika
Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan rumus Sn di atas tanpa perlu menghitung satu per satu nilai Sn seperti di atas. Caranya simple banget. Kita cuma butuh melakukan dua langkah berikut ini:
- Buktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai ndasar (pada contoh di atas, buktikan untuk n=1).
- Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1.
CONTOH SOAL
Soal 1
Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5.
Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:
Langkah Pertama
32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.
Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)
32k + 22k + 2
Langkah Ketiga ( = k + 1)
= 32(k+1) + 22(2k+2)
= 32k+2 + 22k+2+2
= 32(32k) + 22(22k+2)
= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2
= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)
Diperoleh:
10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5.
Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1
Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21+ 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi).
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2.2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1)+1 – 1
Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Soal 2
Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.
Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1.
Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, yakni:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = n2
Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (n+1) juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.
Soal 3
Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2.
P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Maka akan mampu menujukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N.
Langkah Pertama
Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 12. Jadi, p(1) adalah benar.
Langkah Induksi
Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(k) adalah benar, yaitu:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2, k N
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2(k + 1) – 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(n) adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli.
Daftar Pustaka
Komentar
Posting Komentar